Le cours de Nouakchott 2012

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Le cours

Exercices détaillés

Tout le matériel présenté ici appartient à l'auteur, c'est à dire, pour éviter de parler à la troisième personne, moi-même personnellement :) Il est disponible sous licence GPL, voir ici, ou, de façon plus générale, là. En particulier, toute utilisation non commerciale est acceptée et même accueillie à bras ouverts ! Pensez de temps à autre à me citer, cela me fera plaisir, même si je ne le sais pas :)

Le cours s'est déroulé à l'université de Nouakchott, du 25 novembre au 6 décembre 2012. Il s'agit d'un cours de DEA (Master 2) intensif, qui mélange cours et exercices. Moyennes de fonctions arithmétiques
À la fin de la première semaine, chaque étudiant a choisi un exercice non encore fait et le rédiger. Ces rédactions sont présentées ci-dessous.

Le texte du cours
Les cours commencent dimanche 25 novembre à 10h00.
Voici un version préliminaire, actuellement version 4, avec encore beaucoup de choses à changer, mais cela devient stable !

Voici la preuve qu'il reste du soleil à Nouakchott en décembre ! Ainsi que quelques acteurs : D'autres photos : une, deux, trois, quatre.

Exercices corrigés par des élèves

Voici des exercices relatifs à ce cours rédigés par des élèves. Chaque étudiant a pris la charge d'un exercice. Nous espérons que ces présentations différentes serviront au lecteur ou à la lectrice ! Bonne lecture donc !

• Mane Sourie
  Aïchatou mint Brahim
  Jemila mint Mohamed Mohamed

  Montrer que, pour tout $n\ge1$, on a $d(n)\le 4 n^{1/3}$.
  [Exercice A] Solution

• Mohamed Mourad ould Sidina

  Montrer que, pour tout $n\ge1$, on a $\varphi(n)\ge\sqrt{n/2}$.
  [Exercice B] Solution

• Ahmed Talib / El Mustapha

  Montrer que, pour tout $n\ge1$, on a $d(n^2)=\sum_{d|n}2^{\omega(d)}$.
  [Exercice C] Solution

• Sid'Ahmed ould Abe

  Montrer que, pour tout $n\ge1$, on a $\sum_{m|n}d(m)^3=\Bigl(\sum_{m|n}d(m)\Bigr)^2$.
  [Exercice D] Solution

• Mohamed Abdellahi ould Elghadi

  1. [1] Montrer que, pour tout entier $n\ge1$, on a $$ n^{n+1}/\zeta(n+1)\le \varphi(n)\sigma(n^n)\le n^{n+1}.$$
  2. [2] Déterminer si la série $$\sum_{n\ge1}\Bigl(\frac{n}{\varphi(n)}-\frac{\sigma(n^n)}{n^n}\Bigr)$$ est convergente ou pas.

  [Exercice E] Solution

• Zeinebou Mint Mohamed ould Iyahi

  Exprimer la série de Dirichlet de la fonction qui à $n$ associe $2^{\omega(n)}$ en fonction de la fonction $\zeta$ de Riemann.
  [Exercice F] Solution

• Amadou Mamadou Ba

  1. [1] Montrer que, pour tout réel $\sigma>1$, on a $1/(\sigma-1)<\zeta(\sigma)<\sigma/(\sigma-1)$.
  2. [2] Montrer que, pour $\sigma>1$, on a $\zeta(\sigma)=(\sigma-1)^{-1}+\gamma+O(\sigma-1)$.

  [Exercice G] Solution

• Mounaya mint Abdati

  Montrer que, pour tout entier $k\ge1$ et tout réel $X\ge1$, on a $$\sum_{n\le X}\bigl(\log(X/n)\bigr)^k\ll X.$$
  [Exercice H] Solution

• Mohamed Haye ould Mohamed

  Montrer que, pour $x\ge1$, on a $$\sum_{n\le x}\{x/n\}=(1-\gamma)x+O(\sqrt{x})$$ où $\{y\}$ désigne la partie fractionnaire de $y$.
  [Exercice I] Solution

• Mohamedcheikh ould Mohamedabdellahi

  1. [1] Montrer que, pour $\Re s>1$, on a $-\zeta'(s)/\zeta(s)=\sum_{n\ge1}\Lambda(n)/n^s$.
  2. [2] Montrer que, pour $\Re s>1$, on a $\log\zeta(s)=\sum_{n\ge2}\Lambda(n)/(n^s\log n)$.

  [Exercice J] Solution

• Khaddad Mahfoudh Moctar

  Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4m+3$. [Indication : on pourra montrer que l'entier $4\cdot n!+3$ admet au moins un facteur premier $\equiv3[4]$.]
  [Exercice K] Solution

• Roukoy Ahmedouvall

  Montrer que $$ \sum_{d|q}\ \frac{\mu(d)\log d}{d}\le 0$$ en utilisant $\log=\Lambda\star 1$.
  [Exercice L] Solution

• Mouhamed Elhafedh Moulayezein

  Montrer que $ D(\varphi,s)=\zeta(s-1)/\zeta(s)$, que $D(\lambda,s)=\zeta(2s)/\zeta(s)$ et que $D(\mu^2,s)=\zeta(s)/\zeta(2s)$.
  [Exercice M] Solution