Voici donc un livre, plutôt destiné à un public de non spécialistes. On y traite de nombres premiers, et surtout d'une méthode introduite par le mathématicien russe I. M. Vinogradov vers 1937 pour les étudier. Depuis, cette méthode a bien sûr été améliorée de nombreuses façons, mais l'idée centrale reste de loin la plus forte. Disons ici rapidement que cette approche introduit des formes bilinéaires. Les lecteurs plus capés trouveront plus d'informations dans cet article.

Bien que centrale et maintenant ancienne, cette idée ne semble pas avoir réussi à sortir du cercle des spécialistes. Aussi les ouvrages de vulgarisation s'en tiennent-ils souvent au théorème des nombres premiers, arrivent parfois à atteindre leur répartition dans les progressions arithmétiques, tournent définitivement bride devant les méthodes de cribles et n'imaginent même pas la suite. Ce scénario (que je caricature un peu, je l'admets !) comporte bien des variantes, et une option usuelle consiste à abandonner les nombres premiers pour se tourner vers la fonction zeta de Riemann. Ici, nous ne traiterons ni du théorème des nombres premiers, ni de la fonction zeta, deux outils dont nous n'aurons nul besoin (non que la fonction zeta n'ait pas d'intérêt ! L'erreur est de confondre son étude avec celle des nombres premiers), mais nous aborderons directement la technique de Vinogradov, avec un léger détour vers la théorie du crible. Le prétexte de notre voyage est de montrer que la suite des sin(p) où p est un nombre premier est belle et bien dense dans l'intervalle [-1,1], toute comme celle des sin(n). Le texte en lui-même peut se découper pour se mettre sous la forme d'un problème, c'était d'ailleurs l'idée initiale, mais le résultat était un peu trop long.

Troisième édition : Je me suis finalement dirigé vers une édition ... sans maison d'édition ! La première version de ce livre posait des problème d'impression et de mise en page. Ne sont donc plus proposées que trois versions. Le projet global consiste bien sûr en l'obtention de livres qui ne soient ni des livres de cours dans leur format didactique habituel, ni des livres destinés à des chercheurs, mais des promenades de haut niveau dans un format aussi peu imposant que possible. Parce qu'il me semble important de sortir les connaissances des laboratoires, et d'en garantir un accès aussi facile que possible.

Par conséquent n'hésitez pas à copier et imprimer ce texte, ou, sous forme plus lapidaire : Pillez, pillez, il en restera toujours quelque chose :-) !