Descendance

Nous étudions la répartition des zéros non triviaux de la fonction Zêta de Riemann. Plus précisément, nous montrons qu'il n'y en a pas dans une région à gauche de l'axe $\Re s=1$ de la forme : $\Re s \ge 1- \frac1{R_0 \log (|\Im s|+2)}$, où $R_0=5.70175$. Les méthodes élaborées dans ce cas se généralisent alors à celui des fonctions de Dirichlet et nous établissons que les fonctions L associées à un module $q$ fixé ne s'annulent jamais dans la région~: $\Re s \ge 1- \frac1{R_1 \log(q\max(1,|\Im s|))}$ où $R_1=6.4355$, à l'exception d'au plus une d'entre elles qui correspondrait alors à un caractère réel et qui aurait au plus un zéro réel dans cette zone (qu'on appelle zéro de Siegel). De plus, nous précisons que chaque fonction associée à un caractère donné possède au plus quatre zéros très proches de l'axe réel dans la région $\Re s \ge 1- \frac1{R_4 \log(q\max(1,|\Im s|))}$ où $R_4=2.58208$. Enfin, nous appliquons nos résultats à la répartition des nombres premiers dans une progression arithmétique de la forme $(a+nq)$. Nous établissons ainsi que le plus petit d'entre eux (qu'on notera $P(a,q)$) vérifie $P(a,q) \le \exp\big(\alpha(\log q)^2\big)$ où $\alpha=6.95015$ pour $q\ge10^6$.

Nous traitons deux problèmes liés aux séries de Dirichlet. Nous étudions d'abord le prolongement analytique d'une certaine classe de séries de Dirichlet à deux variables : $g(s_1,s_2,a,r)=\sum_{d\ge1} r(d)a(d)^{-s_1}d^{-s_2}$, où $a(d)$ est une fonction multiplicative strictement positive et $r(d)$ est une fonction multiplicative. Nous démontrons, sous certaines hypothèses, un théorème général qui permet d'approcher cette série de Dirichlet par une série connue, modulo une autre série pour laquelle nous obtenons des majorations très précises. Nous utilisons ensuite cet outil pour obtenir des résultats quantitatifs sur la distribution des valeurs de fonctions arithmétiques. Sous certaines hypothèses sur les fonctions $a(d)$ et $r(d)$, nous déterminons la limite lorsque $X$ tend vers l'infini de $X^{-1}\sum_{d\le X, a(d)\le z} r(d)$ $(0 < z\le X)$ et mesurons la vitesse de convergence vers la loi limite. La classe de fonctions $a(d)$ est beaucoup plus large que celle considérée jusqu'à maintenant. Lintroduction de $r(d)$ semble nouvelle.

Dans cette thèse, nous donnons des majorations explicites pour les constantes de Laurent-Stieltjes des séries L de Dirichlet dans deux cas différents. Ces constantes sont les coefficients qui interviennent dans le développement en série de Laurent des séries L de Dirichlet. Cette thèse est composée de trois parties :

• [A] Dans la première partie, nous donnons, à partir d'une idée due à Matsuoka pour la fonction zêta de Riemann, des majorations explicites de ces coefficients d'ordre élevé lorsque le conducteur du caractère de Dirichlet est fixé. Nous prolongeons la formule de Matsuoka aux fonctions L de Dirichlet et améliorons le résultat de Matsuoka. En utilisant cette majoration, nous déduisons aussi une approximation des fonctions L de Dirichlet au voisinage de $z=1$ par un polynôme de Taylor relativement court.
• [B] Dans la deuxième partie de cette thèse, nous donnons une majoration explicite du premier coefficient de Laurent-Stieltjes lorsque le caractère de Dirichlet est un caractère pair qui prend la valeur 1 en 2. Il s'agit là du cas le plus difficile. Ce résultat nous conduit à une amélioration du résultat de Ramaré. Nous en déduisons une majoration explicite pour le nombre des classes pour tout corps quadratique réel et améliorer ainsi un résultat de Le.
• [C] Dans la troisième partie, nous suivons la méthode de Ramaré pour donner une majoration explicite du premier coefficient lorsque le conducteur du caractère de Dirichlet est divisible par 3, améliorant ainsi un résultat de Louboutin.

Cette thèse comporte deux parties. Tout d'abord nous étudions la fonction de Hardy $Z(t,\chi)$ liée à la série $L(s,\chi)$ de Dirichlet. Cette fonction réelle a les mêmes zéros que la fonction $L$ sur la droite critique. Nous regardons ici sa primitive $F(T,\chi)=\int_{0}^{T} Z(t,\chi) dt$. Dans le cas de la fonction zêta de Riemann, Ivic (2004) a montré la majoration $F(T)=O(T^{\frac{1}{4}+\epsilon}$ et conjecturé que $F(T)=\Omega_{\pm} T^{\frac{1}{4}}$. Cette dernière conjecture a été démontrée par Korolëv (2007) et d'une façon plus précise par Jutila (2011). Ces deux auteurs exhibent aussi un comportement surprenant de $F(T)$. Jutila montre une formule de type Atkinson pour $F(T)$ et en déduit les résultats de Korolëv. La preuve de Jutila demande des adaptations importantes mais nous parvenons à étendre ces résultats à une grande classe de fonctions $L$ de Dirichlet. Nous montrons également que le comportement de $F(T,\chi)$ dépend notamment de la parité de $\chi$ et de celle du conducteur. Les modèles asymptotiques posent de nombreuses questions arithmétiques. Dans la seconde partie, nous étudions certaines fonctions sommatoires des nombres premiers en vue d'estimations explicites dans la lignée de Rosser et Schoenfeld (1962). Nous donnons des estimations explicites pour les sommes de Mertens $\sum_{p\leq x} 1/p$, $\sum_{p\leq x} \log p/p$, $\sum_{n\leq x} \Lambda(n)/n$ et les produits eulériens $\prod_{p\leq x} (1+z/p)$; des estimations explicites très précises sont données au moyen d'une région sans zéros pour la fonction zêta de Riemann. La méthode utilisée est celle suggérée par un récent article de Ramaré (Acta Arith., 2014).

We improve Bombieri's asymptotic sieve to localise the variables. As a consequence, we prove, under a Elliott-Halberstam conjecture, that there exists an infinity of twins almost prime. Those are prime numbers $p$ such that for all $\varepsilon > 0$, $p-2$ is either a prime number or can be written as $p_1 p_2$ where $p_1$ and $p_2$ are prime and $p_1 < X^{\varepsilon}$, and we give the explicit asymptotic. In addition to this main work, there are two other chapters: the first one gives an asymptotic of prime numbers $p$ such $p-2$ is either a prime number or a product of three primes without using a preliminary sieve and so a stronger conjecture was needed. Hence this part shows the strength of the preliminary sieve and presents a few detailed sommations, most of them involving the Moebius fonction, that could be useful. The second one presents an easy and explicit method to calculate an average order of multiplicative functions.